[概述]平面向量的数量积及运算律（多篇）为网友投稿推荐，但愿对你的学习工作带来帮助。
平面向量的数量积及运算律 篇一教学目的：
1 掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4 掌握向量垂直的条件
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律
教学过程：
一、复习引入：
1. 向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 =λ
2.平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2
3.平面向量的坐标表示
分别取与 轴、轴方向相同的两个单位向量 、作为基底 任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、，使得
把 叫做向量 的（直角）坐标，记作
4.平面向量的坐标运算
若 ， ，
则 ， ，
若 ， ，则
5. ∥ ( )的充要条件是x1y2-x2y1=0
6.线段的定比分点及λ
p1, p2是直线l上的两点，p是l上不同于p1, p2的任一点，存在实数λ，
使 =λ ，λ叫做点p分 所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ
7 定比分点坐标公式：
若点p1(x1,y1) ，p2(x2,y2)，λ为实数，且 ＝λ ，则点p的坐标为（ ），我们称λ为点p分 所成的比
8 点p的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞0时， 与 同向共线，这时称点p为 的内分点
②当λ＜0( )时， 与 反向共线，这时称点p为 的外分点
9 线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点o，设 ＝ ， ＝ ，
可得 =
10.力做的功：w = | || |cos，是 与 的夹角
二、讲解新课：
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ，作 ＝ ， ＝ ，则∠aob＝θ（0≤θ≤π）叫 与 的夹角
说明：（1）当θ＝0时， 与 同向；
（2）当θ＝π时， 与 反向；
（3）当θ＝ 时， 与 垂直，记 ⊥ ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的 范围0≤≤180
2.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos叫 与 的数量积，记作 ，即有 = | || |cos，
（0≤θ≤π） 并规定 与任何向量的数量积为0
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定
（2）两个向量的数量积称为内积，写成 ；今后要学到两个向量的外积 × ，而 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分 符号“• ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若 ，且 =0，不能推出 = 因为其中cos有可能为0
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c
但是 = =
如右图： = | || |cos = | ||oa|， = | || |cos = | ||oa|
= 但
(5)在实数中，有(aa)c = a(ac)，但是( ) ( )
显然，这是因为左端是与 共线的向量，而右端是与 共线的向量，而一般 与 不共线
3.“投影”的概念：作图
定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 | |；当 = 180时投影为 | |
4.向量的数量积的几何意义：
数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| | os的乘积
5.两个向量的数量积的性质：
设 、为两个非零向量， 是与 同向的单位向量
1 = =| |cos
2 = 0
3 当 与 同向时， = | || |；当 与 反向时， = | || |
特别的 = | |2或
4 os =
5| | ≤ | || |
三、讲解范例：
例1 判断正误，并简要说明理由
① • ＝ ；②0• ＝0；③ － ＝ ；④｜ • ｜＝｜ ｜｜ ｜；⑤若 ≠ ，则对任一非零 有 • ≠0；⑥ • ＝0，则 与 中至少有一个为 ；⑦对任意向量 ， ， 都有（ • ） ＝ （ • ）；⑧ 与 是两个单位向量，则 2＝ 2
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有 • ＝0；
对于②：应有0• ＝ ；
对于④：由数量积定义有｜ • ｜＝｜ ｜•｜ ｜•｜cosθ｜≤｜ ｜｜ ｜，这里θ是 与 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜ • ｜＝｜ ｜•｜ ｜；
对于⑤：若非零向量 、垂直，有 • ＝0；
对于⑥：由 • ＝0可知 ⊥ 可以都非零；
对于⑦：若 与 共线，记 ＝λ
则 • ＝（λ ）• ＝λ（ • ）＝λ（ • ），
∴（ • ）• ＝λ（ • ） ＝（ • ）λ ＝（ • ……此处隐藏1840个字……）＝ • ＋ • ＋ • ＋ •
( ＋ )2＝ 2＋2 • ＋ 2
三、讲解范例：
例1 已知 、都是非零向量，且 + 3 与7 5 垂直， 4 与7 2 垂直，求 与 的夹角
解：由( + 3 )(7 5 ) = 0 7 2 + 16 15 2 = 0 ①
( 4 )(7 2 ) = 0 7 2 30 + 8 2 = 0 ②
两式相减：2 = 2
代入①或②得： 2 = 2
设 、的夹角为，则cos = ∴ = 60
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
解：如图： abcd中， ， ， =
∴| |2=
而 =
∴| |2=
∴| |2 + | |2 = 2 =
例3 四边形abcd中， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，且 • ＝ • ＝ • ＝ • ，试问四边形abcd是什么图形？
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量
解：四边形abcd是矩形，这是因为：
一方面：∵ ＋ ＋ ＋ ＝0，
∴ ＋ ＝－（ ＋ ），∴( ＋ )2＝（ ＋ ）2
即｜ ｜2＋2 • ＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋2 • ＋｜ ｜2
由于 • ＝ • ，
∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2①
同理有｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2②
由①②可得｜ ｜＝｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜即四边形abcd两组对边分别相等
∴四边形abcd是平行四边形
另一方面，由 • ＝ • ，有 （ － ）＝0，而由平行四边形abcd可得 ＝－ ，代入上式得 •(2 )＝0
即 • ＝0，∴ ⊥ 也即ab⊥bc
综上所述，四边形abcd是矩形
评述：(1)在四边形中， ， ， ， 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即 ＋ ＋ ＋ ＝ ，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系
四、课堂练习：
1 下列叙述不正确的是（ ）
a 向量的数量积满足交换律 b 向量的数量积满足分配律
c 向量的数量积满足结合律 d • 是一个实数
2 已知| |=6,| |=4, 与 的夹角为60°，则( +2 )•( -3 )等于（ ）
a 72 b -72 c 36 d -36
3 | |=3,| |=4,向量 + 与 - 的位置关系为（ ）
a平行 b 垂直 c 夹角为 d 不平行也不垂直
4 已知| |=3,| |=4,且 与 的夹角为150°，则( + )2＝
5 已知| |=2,| |=5, • =-3,则| + |=______,| - |=
6 设| |=3,| |=5,且 +λ 与 －λ 垂直，则λ＝
参考答案：1 c 2 b 3 b 4 2 5 －1+2 5 6 ±
五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题
六、课后作业
1 已知| |=1,| |= ,且( - )与 垂直，则 与 的夹角是（ ）
a 60° b 30° c 135° d 45°
2 已知| |=2,| |=1, 与 之间的夹角为 ，那么向量 ＝ -4 的模为
a 2 b 2 c 6 d 12
3 已知 、是非零向量，则| |=| |是( + )与( - )垂直的（ ）
a 充分但不必要条件 b 必要但不充分条件
c 充要条件 d 既不充分也不必要条件
4 已知向量 、的夹角为 ，| |=2,| |=1,则| + |•| - |=
5 已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么 • =
6 已知 ⊥ 、与 、的夹角均为60°，且| |=1,| |=2,| |=3,则( +2 - )2＝______
7 已知| |=1,| |= ,(1)若 ∥ ,求 • ;(2)若 、的夹角为60°，求| + |；(3)若 - 与 垂直，求 与 的夹角
8 设 、是两个单位向量，其夹角为60°，求向量 =2 + 与 =2 -3 的夹角
9 对于两个非零向量 、，求使| +t |最小时的t值，并求此时 与 +t 的夹角
参考答案：1 d 2 b 3 c 4 5 –63 6 11
7 (1)- (2) (3)45° 8 120° 9 90°
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
1 常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛
即( ＋ )2＝ 2＋2 • ＋ 2，（ － ）2＝ 2－2 • ＋ 2
上述两公式以及( ＋ )( － )＝ 2－ 2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用
2 应用举例
例1 已知｜ ｜＝2，｜ ｜＝5， • ＝－3，求｜ ＋ ｜，｜ － ｜
解：∵｜ ＋ ｜2＝（ ＋ ）2＝ 2＋2 • ＋ 2＝22＋2×（－3）＋52＝23
∴｜ ＋ ｜＝ ，∵（｜ － ｜）2＝（ － ）2＝ 2－2 • ＋ 2＝22－2×（－3）×52＝35，
∴｜ － ｜＝ .
例2 已知｜ ｜＝8，｜ ｜＝10，｜ ＋ ｜＝16，求 与 的夹角θ(精确到1°)
解：∵（｜ ＋ ｜）2＝（ ＋ ）2＝ 2＋2 • ＋ 2＝｜ ｜2＋2｜ ｜•｜ ｜cosθ＋｜ ｜2
∴162＝82＋2×8×10cosθ＋102，
∴cosθ＝ ，∴θ≈55°
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